Anno főiskolás koromban, mikor a matekot tanultuk és eljutottuk a képzetes (komplex) számokig szöget ütött a fejembe egy gondolat. Hogy miért is történt ez, ahhoz előbb tudnunk kell mik azok a képzetes számok.
Ezt most nagyon egyszerűen akarom elmondani mindenféle bonyolult matematikai kifejezések nélkül.
Induljunk ki abból, hogy 4 négyzetgyöke kettő, mert 2×2=4 A négyzetgyök a négyzetre emelés (amikor a számot önmagával megszorozzuk) fordítottja.
Ez egyszerű. Négyzetgyök 1=1, mert 1×1=1 Ez is még egyszerű. Viszont ha negatív szám négyzetgyökét keressük, akkor megáll a tudomány, mert nincs olyan szám, amit ha önmagával megszorzunk, akkor negatív szám lenne a végeredmény, mivel tudjuk, hogy negatív szor negatív az pozitív. Az egész valós számok halmazán nincs megoldás. Mi az a valós számok halmaza? Az összes olyan szám, ami egész, tört, tizedes tört. Szóval minden létező (valós) szám.
Mit lehet tenni? Találjunk ki nem igazi számokat! Képzeljünk el olyat, ami nem része a valós számoknak. Kitalálták. Pontosabban egy olasz matematikus Rafael Bombelli találta ki a XVI. században. Ilyen az alakja: a + b*i
Két részből áll. Az ‘a’ a valós része és a ‘b*i’ a képzetes része. Igazából csak az ‘i’ a képzetes. Úgy is mondják, hogy imaginárius (imagine angolul az magyarul képzeld el) Ezt a ‘képzetes’ nevet, pedig Rene Descartes találta ki, mert kételkedett a dolog létezésében.
A kettőt együtt úgy hívják, hogy komplex szám. Lehet ábrázolni koordináta rendszerben, lehet vele műveleteket végezni. Teljesen úgy működik, mintha létező dolog lenne. A modern matematikában, mikor tanítják, akkor a tankönyvek megjegyzik, hogy az, hogy ezek a számok léteznek-e az inkább filózófiai kérdés, mint tudományos. Na itt dobta le az agyam a szíjat. Eddig azt hittem, hogy a matematika az egy reális tárgy és egzakt (pontos) dolgokkal foglalkozik nem filozófiával. Nem mintha a filzófiával baj lenne, de mit keres a matematikában?!
Ezeket a komplex számokat használják a matematikában a fizikában és az elektrotechnikában. Én is itt találkoztam vele, mikor villamosmérnöknek tanultam. Itt például a váltóáramú áramkörök jellemzésére használják. A komplex számok a rezgések és hullámok leírására is alkalmasak. A kvantummechanikában is alapvető szerepet játszanak (a hullámfüggvény írja le egy részecske valószínű állapotát és tartózkodási helyét), de még Erwin Schrödinger is, aki a kvantummechanikai leírások szerves részévé tette is jobban örült volna (saját véleménye szerint), ha valós számokkal lehetne a kvantum világot leírni és ne kelljenek a komplex számok.
Azóta több tudományos értekezés is megjelent a tárgyban, hogy most akkor mi is a helyzet ezekkel a számokkal? Léteznek vagy nem?
Én nem ennek akarok a végére járni, hanem annak, hogy miért működnek? Nem létező volt. Mi kitaláltuk és működnek. Ezzel számolnak ki nagyon sok dolgot. Főleg a változó mozgásokat, mint fenn említettem. A váltóáramú áramköröket, a hullámfüggvényeket, egy részecske valószínű állapotát és tartózkodási helyét és minden olyat, ami időben változik. Ez lesz a kulcs, de előbb lássuk:
Mi is az a matematika?
Na ez egy értelmetlen kérdésnek tűnik. Hogy hogy mi az a matematika gondolhatjuk. Hát amikor a számolással foglalkozunk és minden olyan dolog, amit az iskolában a többség nem szeretett. 🙂 Nézzük meg közelebbről.
Sok és hosszú értekezést lehet olvasni erről, de most egyszerűbben nézzük meg. Vegyünk egy almát ténylegesen. Illetve most képzeletben, ha már képzetes számokról volt szó 🙂 Felírhatjuk, hogy: 1. Utána veszünk egy másik almát. Itt is felírhatjuk, hogy: 1. De ez nem az az alma a valóságban, hanem egy másik. Mégis ugyanazt az 1-et írtuk le. Illetve egy másikat, de ugyanúgy néz ki. A két egyes valójában ugyanaz csak kétszer írtuk le. A két alma viszont tényleg két különböző tárgy. A matematikában leképezzük a valós világot számokra, amik amúgy nem létező dolgok, hanem a valós tárgyak szimbólumai. Az egész matematika nem más, mint szimbólum rendszer. Szimbólumok csupán. Ezért lehet velük bármit csinálni büntetlenül, mert a valóságban nem történik meg.
A tudósok (főleg a matematikusok) előszeretettel mondák, hogy az egész univerzum matematikai alapon működik. Nos a fentiek fényében mondhatjuk, hogy a matematika működik univerzum alapon. Bármilyen jelenséggel is találkozunk azt leírjuk matematikai alapon. Ha nem sikerül, akkor a matematikusok és a fizikusok sokat gondolkodnak, hogy mi lehet a matematikája. Igazából csak a megfelelő szimbólumrendszert írják le, ami visszafelé kompatibilis kell hogy legyen az eddigi leírt szimbólum szabályokkal. Ezért lehet bármit kitalálni (pl komplex számokat) és az működni fog, mert az egész csak szimbólum. Felesleges arról beszélni, hogy igazi-e. Valaki azt mondta, hogy a matematikusok igazából kreatív művészek. A semmiből találnak ki dolgokat és hozzák be a valós világba.
Térjünk vissza a komplex számokra.
Mint említettem nézzük meg, hogy miért működnek. Mit is írnak le? A változó mennyiségeket. Mi az, hogy valami változik? Azt jelenti, hogy az időben változik. Most így van, azután pedig úgy. Na akkor itt az ideje, hogy megnézzük mi az, hogy idő. Ez így elég nagy bátorságra vall tőlem, mert nálam sokkal nagyobb emberek is hosszas értekezéseket írtak erről és igazából a tudomány még mindig nem tudta ezt meghatározni. Ez így persze nem igaz. A hivatalos vonal nem tudta ezt meghatározni. Járjuk kicsit körül a dolgot.
Régen a görög időkben a filozófusok gondolkodtak ezen. (Igen, annak idején nem voltak tudósok. A filozófusok gondolkodtak a megoldandó dolgokon és találtak ki elméleteket. Most ezt a tudósoknak nevezett emberek teszik, de meglátjuk, hogy nagyjából ugyanazt csinálják, mint régen a filozófusok.) Először azt gondolták, hogy az idő abszolút dolog. Mindig is volt és van és lesz.
Később Szent Ágoston (mert a „sötét” középkorban a vallásban voltak tanult emberek) azt vallotta, hogy az idő a világegyetem sajátja. Mielőtt Isten megteremtette volna a világegyetemet nem volt idő. Most elvonatkoztatva attól, hogy a világegyetem Isten által lett-e teremtve vagy ősrobbanás volt-e (egyik sem bizonyított) ez egy új gondolat. Szakított az idő abszolút voltával.
Később Einstein relativitás elmélete alapján az időt relatívnak gondolták. Ez azt jelenti, hogy az idő minden megfigyelő számára máshogy telik.
Mivel a relativitás elméletet és a kvantummechanika elméleteit nem lehet még mindig összegyúrni, ezért Stephen Hawking már a képzetes időről beszélt, amit -mily meglepően- a képzetes számok alapján magyarázott. Sőt az időt a komplex szám képzetes tagjával kívánta leírni.
Na itt álljunk meg a doktori disszertációmban és nézzük az időt. Eljutottunk oda, hogy képzetesnek vagyis elképzeltnek, kitaláltnak gondoljuk. Persze Hawking nem ezt mondja, hanem ezt jól definiált matematikai fogalomnak nevezi, de emlékezzünk, ez csak kitalált dolog és inkább a filozófia kérdése, hogy létezik-e vagy sem nem a tudományé. Már láthatjuk, hogy a tudomány és a filozófia nem is állnak messze egymástól. A tudósok, mikor elméleteket fogalmaznak meg, akkor csak filozófálgatnak és mindez elmélet is marad, míg a tapasztalat nem igazolja.
Ha az ember végig olvassa Stephen Hawking: Az idő rövid története című könyvét, akkor látható, hogy az egész tudomány puszta feltevések és elméletek gyűjteménye, amire kétségbeesetten keresik a bizonyítékokat. Némelyre találnak, de a többségre nem. Mivel mindez elmélet, ezért ütközések vannak, amiket újabb elméletekkel próbálnak feloldani. A legnagyobb ilyen feloldatlan dilemma a már említett Einsteini relativitás elmélet és a kvantummechanika ellentmondásai. Mindkettő működik és részben bizonyítható magában, de nem összeegyeztethetőek. Miért? Térjünk vissza a felvetésünk elején említett dologra a matematikával kapcsolatban. Bátorkodtam említeni, hogy a matematika csupán szimbólum rendszer, ami megpróbálja leírni a valóságot. Mindig visszafelé kompatibilisnek kell lennie. Tehát ha valahol hiba van, akkor azt onnantól kezdve a rendszer magában hordozza. Az Einsteini gravitációs elméletben elérkeztek egy hibához és itt „megállt a tudomány”. Einsteinnek tulajdonítják azt a mondást, hogy: Nem lehet megoldani problémákat ugyanazzal a gondolkodásmóddal, amivel csináltuk őket. A kvantummechanika kicsit visszalépve (az elemi matematikát nem megváltoztatva) új matematikai elveket dolgozott ki. Ez is megállt. Mi a „hiba”? Lehet több is, de most egyet említek: az IDŐ!
Mi történ vele? Az időt soha senki nem határozta meg, hanem csak egy elméletet húztak rá: téridő, „a fizikai tudományban egyetlen fogalom, amely elismeri a tér és az idő egyesülését, amelyet először Hermann Minkowski matematikus javasolt 1908-ban Albert Einstein speciális relativitáselméletének (1905) újrafogalmazásának módjaként.” https://www.britannica.com/science/space-time
Előtte az időt a tértől független fogalomnak tekintették itt pedig ez lett a tér negyedik dimenziója (kiterjedése) Ettől kezdve minden elmélet ezt egységként kezelte. Ez persze nem jelenti azt, hogy minden elmélet innentől kezdve hibás, de azt igen, hogy feloldhatatlan zsákutcák jelennek meg.
Ugyanis még rendben is lehet, hogy téridő, de az idő akkor sincs meghatározva azóta sem! (megjegyzem, hogy a tér sem) Senki sem látta, senki sem mérte meg. Az óra is csak ütemesen mozog, de nem „méri” az időt. Semmi köze az órának az időhöz. Ha megállítom vagy változtatom a sebességét semmi nem történik az időben zajló eseményekkel.
Most már látjuk, hogy mi a közös az időben és a képzetes számokban. (aki nem, az olvassa el újra) Mindkettő … Ezért lehet képzetes számokkal leírni az időben változó mennyiségeket és még működik is.